مفاهیم اساسی
مفهوم تابع
طبق تعریفی که اویلر در 1749 به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کمیت متغیر variable quantity ی که وابسته به کمیت متغیر دیگری است توضیح داده می شود. تعریفی چنین از مفهوم تابع برای مقاصد بسیاری کفایت می کند , اما در دوران گسترش بیشتری از ریاضیات آشکار شد که دادن محتوی عمومیتر و مجردتری به مفهوم تابع هم ضروری هم سودمند است .
ماهیت این مفهوم وابستگی کمیتها نیست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که میتوانند در رابطه «کمتر از یا بزرگتر از » مقایسه شوند , بلکه خود واقعیت تناظر correspondence است , که بر مبنای آن اشیای معینی به عنوان تخصیص یافته به اشیای معین دیگر در نظر گرفته می شود. به این ترتیب مفهوم تابع به تعاریف مجموعه نظریه ای set – theoretical definitions تحویل شده است .
تناظرها . هر میله فلزی هنگامی که گرم شود تغییر می کند . به عنوان مثال , فرض می کنیم یک میله مسی در 0 C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتیمتر یا اینچ باشد , در این صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص می شود .
با این فرمول formula هر مقدار t بین 00C و 0C100 در تناظر با طول lی بین u200 و u200.32 قرار داده شده است .
به همین ترتیب با هر مقدار کالا مبلغ معینی پول , به عنوان قیمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه این کتاب , عددی متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بیان می کند .
تناظرها نه تنها بین اعداد , بلکه بطور عمومی تر , بین عنصرهای aی واقع در مجموعه A و عنصرهای bی واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلی نمایش یک تئاتر متناظر با یک بلیط ورودی و یک تماشاچی خاص است . به این ترتیب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ی Fی تعریف شده بر B A با حوزه تعریف AD(F) و برد BR(F) معین می شود .
اگر نسبت به این رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن یک و تنها یک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در این صورت رابطه را تک مداری single-value می گویند و در این صورت از تابع function یا نگاشت mapping از مجموعه A بتوی into مجموعه B صحبت می کنیم ( شکل )
عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستین a''original'' از حوزه آن را نگاره یا تصویر a''image'' می نامیم . در نتیجه تابع f مجموعه ای از جفتهای مرتب ''ordered pairs'' (a,b)ای است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعریف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .
در مورد نگاشت از A بتوی B داریم ; D(F)=A یعنی , هر عنصر a A به عنوان عنصری نخستین رخ میدهد , و در مورد نگاشت از A بروی B ''onto'' , علاوه بر این , هر عنصرBb به عنوان نگاره ای مطرح می شود.
عنصر yی را که توسط تابع f به عنصر x تخصیص داده شده است , اغلب با f(x) نمایش می دهیم و در این صورت تناظر مورد بحث y=f(x) x نوشته می شود.
عنصر x را شناسه یا آرگومان ''argument'' و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ''function value'' در نقطه x می نامند .
حوزه تعریف ''domain of definition'' ( یا تنها حوزه ) تابع x y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمایش می دهیم . اگر f تابعی از A بتوی B باشد , آنگاه واضحاً A X و BY .
نمایش توابع
برای توصیف یک تابع باید حوزه تعریف و برد آن و قاعده ای برای تناظر به دست بدهیم .
نمودار. در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداری نمایش داده می شوند و تناظر مربوطه با پیکانهایی مشخص می شود ( شکل ) . از هر عنصر حوزه تنها یک خط سودار خارج می شود , اما ممکن است یکی یا بیش از یکی از این خطها به هر عنصر برد ختم شود.
جدول مقادیر . قاعده تناظر را می توان به جای استفاده از نمودار در جدول مقادیر نیز قرار داد ( شکل ) . عنصرهای حوزه را در سطر بالای جدول وارد می کنیم و زیر هر یک , عنصر متناظر آن از برد را قرار می دهیم . جدول مقادیر تنها می تواند تعدادی متناهی از جفتهای مرتب را به دست دهد , و برای توصیف کامل تابع دلخواه F کفایت نمی کند .
توضیح با کلمات . اگر حوزه و برد یک تابع متناهی نباشد یا آنقدر وسیع باشند که دیگر نمایش نمودار یا جدول مقادیر آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در این صورت دادن توصیف دقیق ''exact description'' حوزه و برد , همراه با قاعده ای که به ازای هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافی است .
تابع را میتوان بدون استفاده از نمادهای ریاضی , به کمک جمله ای به زبان روزمره , بطور کامل تعریف کرد, به عنوان مثال , در صورتی که به هر مسابقه تقسیم بندی اول لیگ فوتبالی خارج قسمت تعداد بلیتهای ورودی و تعداد سکنه محلی که مسابقه در آنجام برقرار می شود را متناظر کنیم , تابعی را تعریف کرده ایم . این تابع می تواند اطلاع معینی از علاقه ای را به دست دهد که عامه مردم در بازیهای خاص نشان می دهند . مثالهای بسیاری از قواعد تناظر می توان یافت که کلاً یا جزئاً با کلمات تنظیم شده اند.
نمودار مختصاتی . نمودار مختصاتی ''diagram'' نیز یک تابع را نمایش می دهد اگر مجموعه ای از اعداد محور افقی را به عنوان حوزه تعریف و مجموعه ای از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعریف دقیقاً آن مقدار از y را تخصیص دهیم که به ازای آنها نقطه با مختصات y, x نقطه ای از نمودار باشد . اما , هر خم بدلخواه رسم شده در یک دستگاه مختصات را نمی توان به عنوان نمایش تابع در نظر گرفت . تناظر داده شده به کمک خم باید تک مقداری ''single-valued'' باشد, و این درحالتی است که خم نمودار مختصاتی مورد بحث توسط هر خط موازی محور قائم حداکثر در یک نقطه قطع شده باشد .
فرمول. بیشترین روش به کار رفته در نمایش یک تابع در ریاضیات فرمول است. در این روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , یا دست کم اشیای ریاضی ''mathematical objects'' اند که در مورد آنها میتوان قاعده های محاسبه '' rules of calculation ''ی مناسب به دست داد , به عنوان مثال :