پروژه مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی

پیش گفتار

تاریخ، خود نقطه‌ی عطف شمارگانی است که پیوسته و ناپیوسته چهار مضراب عشق را حول محور تمرکز اعداد نواخته و به اثبات حقانیت واحد، دراصول هستی پرداخته است.

امتداد جریان ثبوت حقانیت شمارگان، خواه در آن برهه از زمان که خوارزمی اش می‌سرود و چه در دیگر زمان ها که اقلیدس و فیثاغورثش تجلی بخشیدند، شاه بیت های مطلعش را با تخلص آخرش پیوند زدند تا غزل گونه ای باشد، غزل شکار، نه تجنیسش افراط بخشیدند و نه جذرش تفریط، چرا که عدد یک واحد، دو واحد عدد یک ماند وخواهد ماند.

خلاصه‌ی مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم که بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراینجا خلاصه‌ای از مطالبی که مطالعه خواهید کرد آورده شده است.

دریک حلقه‌ی جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند که درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است که اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می شود که وقتی R آریتن می‌باشد اجتماع مرکز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی که مرکز گراف مشخص شده باشد می توان قطر  را تعیین کرد و نشان داده می‌شود که اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز آن است. زمانی که R آریتن باشد با به کاربردن عناصری از مرکز  می‌توان یک مجموعه‌ی غالب از  ساخت و نشان داده می شود که برای حلقه‌ی متناهی ، که F میدان متناهی است، عدد غالب  مساوی با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزای R است. و همچنین نتایج دیگری روی ساختارهای  بیان می‌شود.

واژه های کلیدی

مجموعه های مرکزی؛ حلقه‌ ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر

فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ی جابجایی و یکدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x  و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با  نشان داده می شود. این تعریف از  ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بیان شد که تعداد زیادی از ویژگی های اساسی  مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Auderson بیان شد که همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.

و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی می‌باشند. این ساختار های گرافیکی به شکل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، که در ادامه به آن می پردازیم.

درطول این پژوهش برآنیم که نتایجی را روی حلقه های یکدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممکن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های کاربردی از مرکزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود که شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه نوتری و جابجایی و یکدار 0، 1، 2 می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مرکزی (مرکز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یکدار به کاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از  را بیان می کنیم که از جمله‌ی آن ها قطر و کران های روی تعداد یال های گراف می‌باشد. 

2-پیش نیازها

بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است که آن را باید پیش نیاز نامید:

تعریف1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر  می باشد به طوری که xy=0 به عبارت دیگر                                                     

تعریف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یک مقسوم علیه صفر (zero dirisor)  گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری که xy=0.

مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم که به صورت زیر می‌باشد:

تعریف 3.2.1 عنصر  راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه  موجود باشد به طوری که xn=0.

تذکر: بدیهی است که هر عنصر پوچ توان یک مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.

تعریف 4.2.1 پوچ رادیکال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد که به صورت nill (R) نمایش داده می شود.

تعریف 5.2.1 اشتراک همه‌ی ایده آل های ماکسیمال حلقه‌ی R را رادیکال ژاکوبسون R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم.

تعریف 6.2.1 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته  (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.

اکنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:

تعریف 7.2.1  گرافی مانند G=(V,E) ساختاری است مرکب از یک مجموعه‌ی متناهی مانند V از رئوس (گره ها) که با نماد V(G) نشان داده می شود و یک زیر مجموعه از زیر مجموعه های دو عنصری V مانند E از یال ها، و دو رأس از V مانند W,V مجاورند اگر یالی مانند e از E آن دو را به هم وصل کند. یالی که رأسی را به خودش وصل کند طوقه نام دارد.

V={a,b,c,d}

E={(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}

فرمول

تعریف 8.2.1 گرافی که بین دو رأس آن بیش از یک یال وجود داشته باشد را گراف چندگانه می نامیم.

تعریف 9.2.1 گرافی را ساده می نامند هرگاه طوقه و یال چندگانه نداشته باشد.

تعریف 10.2.1دو رأس را مجاور گویند هرگاه کمانی از یکی به سوی دیگری وجود داشته باشد.

تعریف 11.2.1 گرافی را همبند گویند هرگاه بین هر جفت از رئوس آن مسیری وجود داشته باشد.

گراف کامل s-رأسی (ks)

تعریف 12.2.1 گراف ساده‌ی n رأس را گراف کامل می نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس دیگر مجاور باشد. یک گراف کامل n رأسی را با kn نمایش می دهیم.

فرمول

تعریف 13.2.1 گراف G را گراف دو بخشی کامل می نامیم هرگاه: اگر مجموعه‌ی رأس ها اجتماعی از دو مجموعه‌ی مجزای B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولی هیچ دو عضو از A و هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند، گراف دو بخشی کامل را با kn,m نمایش می دهیم که درآن  به طور

فرمول

مثال اگر:

V={1,2,3,4,a,b,c,d}

A={1,2,3,4}

B={a,b,c,d}

گراف دو بخشی کامل k4,4

تعریف 14.2.1 گراف ستاره درختی است که یک رأس مجاور با همه‌ی رئوس دارد. گراف دو بخشی کامل k1,m یک گراف ستاره می باشد که در آن  و  که هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند.

فرمول

گراف ستاره k1,4

به طور مثال اگر: 

V={1,a,b,c,d}

A={1}

B={a,b,c,d}

تعریف 15.2.1 گرافی مانند  را زیر گراف G=(V,E) می نامند اگر  زیر مجموعه‌ی V و  زیر مجموعه‌ای از E باشد. اگر W زیر مجموعه ای دلخواه از V باشد زیرا گراف القایی G به وسیله‌ی W عبارت است از گراف H=(W,F) که در آن F یالی در F است هرگاه F={v,u} یالی در E باشد و هر دوی v,u در W باشند.

فرمول

H= (W,F)

فرمول

G=(V,E)

تعریف 16.2.1 درجه هر رأس x درگراف G که با نماد deg(x) نشان داده می شود تعداد رأس هایی از گراف G است که با X مجاورند به عبارت دیگر تعداد یالهای گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس می نامیم.

 تعریف 17.2.1طول کوتاه ترین مسیر در گراف G که از x آغاز و به y ختم می شود را فاصله‌ی دو رأس x و y می نامیم و با نماد d(x),(y) نمایش می دهیم.

فرمول

d(a,c)=2

a-b-c

بعد از آشنایی با مباحث فوق به موضوع اصلی یعنی گراف های مقسوم علیه صفر می‌پردازیم. تعاریف ذیل از گراف های مقسوم علیه صفر حاصل تلاش اساتید بزرگی است که جای تعمق و تأمل بسیار دارد:

نخستین تعریف از گراف مقسوم علیه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بیان شد