مکانیک کوانتم سرانجام در سال 1926 توسط دو مدل ریاضی به طور کامل در قالب فرمول آمد (غالبا این نقطه را شروع دوره ی کوانتم جدید می دانند). این دو مدل که در ابتدا مستقل می نمودند حاصل ارائه ی دو فیزیک دان آلمانی اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند. ولی چند سالی طول کشید تا مفاهیم عمیق و انقلابی مکانیک کوانتم در قالب ریاضیات بیان شوند و همه ی پیچیدگی های آزمایش های کوانتم به تفاسیری از مدل های ساده ی ریاضی تبدیل شوند. این اتفاق به همت کسانی چون پل دیراک، شرودینگر، جردن، لانده امکان پذیر شد و دست آخر کتاب ماندگار جان فون نویمان در مبانی ریاضی کوانتم تقریبا همه ی آن چیزی که می توانست در آزمایش های کوانتم قدیم مشاهده شود را در بیان ریاضی می آورد.
با ارائه ی دو مدل هایزنبرگ و شرودینگر در سال 1926 هر آن چه موضوع مکانیک کوانتم بود قابل محاسبه شد ولی چیزی که در این متن عمدتا به آن خواهم پرداخت نه این دو مدل ریاضی بلکه توصیفات دقیق تئوری ریاضی کوانتم از واقعیت و انتزاع مفاهیم انحصاری کوانتم است که در نتیجه ی کوشش های دیراک، ... و نویمان به دست آمد. اهمیت این مفاهیم انتزاع شده در این حد است که بتوانیم آن را یک طرح schema بنامیم در حالی که دو مدل مذکور صرفا مدلی ریاضی برای واقعیت طبیعی هستند و البته این جا تفاوت مدل و طرح مشخص می شود.
قبل از هر چیز مطلبی را از مکانیک کلاسیک یادآوری می کنم. در مکانیک کلاسیک مکان یا در حالت کلی موقعیت (که وابستگی به زمان ندارد) هر سیستم توسط تعدادی متغیر که مختصات آن سیستم گفته می شوند تعیین می شوند. به تعداد این مختصات درجه ی آزادی آن سیستم می گوییم. ولی از آن جایی که به تجربه دریافته ایم که هر سیستم مکانیکی کلاسیک به ازای هر درجه ی آزادی خود یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی دو دارد، برای مشخص شدن آینده و گذشته ی یک سیستم کلاسیک باید علاوه بر مختصات سیستم در یک لحظه سرعت تغییرات هر متخصه را نیز اندازه گیری کنیم. به مجموعه ی این اعداد که تمام اطلاعات رفتاری سیستم را برای همه ی لحظات در اختیار می گذارد حالت سیستم می گوییم. بدیهی است که متغیرهای حالت دو برابر متغیرهای مختصات هستند.
اولین مفهومی که در مکانیک کوانتم با آن رو به رو خواهیم شد مفهوم مشاهده پذیر observable است؛ از آن جایی که در این تئوری بسیاری اعداد در معادلات و عبارات ظاهر می شوند ولی همه ی آن ها قابل اندازه گیری نیستند. در مکانیک کوانتم به هر پدیده ای که قابل اندازه گیری باشد یک مشاهده پذیر می گوییم. پدیده ای قابل اندازه گیری است که مکانیسمی برای به دست آوردن یک عدد حقیقی دقیق از آن موجود باشد. دومین مفهوم مکانیک کوانتم همین مکانیسم اندازه گیر است؛ به مکانیسمی که یک مشاهده پذیر را اندازه می گیرد دستگاه (اندازه گیر) apparatus آن مشاهده پذیر می گوییم.
پس هر مشاهده پذیر دستگاه ویژه ی خود را دارد که به ازای هر اندازه گیری درست یک عدد حقیقی دقیق از آن گزارش می دهد. مجموعه ی اعدادی که از اعمال دستگاه بر روی مشاهده پذیر آن حاصل می شود را طیف ویژه مقدارهای spectrum of eigenvalues آن مشاهده پذیر می گوییم و هر عدد را یک ویژه مقدار eigenvalue از آن مشاهده پذیر می گوییم.
همان گونه که در آزمایشگاه نیز موکد شد، مشاهده پذیر مفهومی کلی تر از کمیت فیزیک کلاسیک است. زیر بر خلاف کمیت فیزیک کلاسیک، مشاهده پذیر یک عدد نیست بلکه پدیده ای است قابل اندازه گیری. یعنی فقط وقتی با یک عدد قابل بیان است که با دستگاه متناظرش در کنش قرار گیرد. بنابراین می توان گفت اصلا کار یک دستگاه این است که مشاهده پذیر خود را تبدیل به عدد کند (یا آشکار کند) یا به گونه ای دیگر می گوییم دستگاه مشاهده پذیر را معین کرد definite یا آن را به مقدار دقیق sharp value برد. اگر یک مشاهده پذیر معین شده باشد واکنش دستگاهش با آن فقط یک عدد از طیف ویژه مقدارها را می دهد. یعنی مشاهده پذیر در یک عدد گیر می کند تا طی فرایندی از حالت دقیق در بیاید و دوباره وارد آن شود.
گاهی واکنش یک مشاهده پذیر و دستگاهش، مشاهده پذیر دیگری را از حالت معین در می آورد (یعنی اندازه گیری دومی را کاملا نامعتبر می کند). یا به عبارتی دو مشاهده پذیر داریم که هر دو با هم عدد (آشکار) نمی شوند. چنین دو مشاهده پذیری را ناسازگار incompatible observables می گوییم. ولی اگر این گونه نباشد آن دو را سازگار compatible observables می گوییم.
یک سیستم کوانتمی system پدیداری کوانتمی است که به کمک مجموعه ای از مشاهده پذیرهای دو به دو سازگار، کاملا (کامل به این خاطر که تمام اطلاعات کافی در مجموعه یافت شود) قابل نمایش representation باشد. اعضای چنین مجموعه ای می توانند همگی با هم عدد باشند یا به عبارتی به ازای این مجموعه از مشاهده پذیرها یک مجموعه از دستگاه ها وجود دارد که می توانند با هم به سیستم اعمال شوند و معتبر باشند. این نکته قابل تامل است که مفهوم سیستم کوانتمی صرفا یک مجموعه از مشاهده پذیرها نیست بلکه [موکد می کنم که] پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش representation است. برای یک سیستم کوانتمی تعداد نامحدودی نمایش وجود دارد یعنی تعداد نامحدودی مجموعه از مشاهده پذیرها که به تجربه دریافته ایم (و اکنون نیز آن را به عنوان یک اصل تعریف کرده ایم، زیرا از آن جا که می گوییم پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش باشد، اطلاعاتی که یک نمایش می دهد باید قابل تبدیل به اطلاعات نمایش دیگر باشد و در نتیجه تعداد اعداد دو نمایش باید برابر باشند) تعداد اعضای مشاهده پذیرهای یک نمایش از یک سیستم کوانتمی مقدار ثابتی است و بستگی به نمایش ندارد. به این تعداد ثابت تعداد مشاهده پذیرها یا درجه ی آزادی سیستم کوانتمی می گوییم. خوب حالا می توانیم هرگاه از یک سیستم کوانتمی صحبت می کنیم، فقط از یک مجموعه ی مشاهده پذیر گفتگو کنیم و بگوییم در فلان نمایش سیستم هستیم. مثل این که گاهی می گوییم در دستگاه مختصات کارتزین هستیم یا قطبی یا کروی یا ...